Чисельний метод одночасного розв’язування задачі відшукання відстані між опуклим многогранником і скінченновимірним підпростором лінійного нормованого простору та двоїстої до неї задачі

Анотація

Відомо, що одним із напрямів математики, який найбільш інтенсивно розвивається в даний час, є теорія наближень, у тому числі теорія наближень функцій, яка має своїм початком задачу П. Л. Чебишова про рівномірне (чебишовське) наближення неперервної на відрізку дійснозначної функції множиною алгебраїчних многочленів степеня, що не перевищує n.

Пізніше розглядалась низка й інших постановок задач про найкраще наближення функцій, однією з яких є задача про рівномірне наближення неперервної на компакті функції скінченновимірним підпростором, породженим іншими неперервними на цьому компакті функціями.

Важливе місце в теорії наближення займає задача апроксимації фіксованого елемента лінійного нормованого простору елементами його скінченновимірного підпростору, частинними випадками якої є задачі, про які йшла мова вище.

Задачу апроксимації фіксованого елемента лінійного нормованого простору елементами його скінченновимірного підпростору можна розглядати як задачу відшукання найкращої відстані між фіксованою точкою та скінченновимірним підпростором.

Важливими питаннями розгляду цієї задачі є питання існування її екстремального елемента, встановлення співвідношення двоїстості та критерію екстремальності елемента, побудови чисельних методів відшукання цього елемента та величини найкращого наближення, які досліджувались багатьма математиками.

У статті розглядається задача відшукання відстані (найкращої) між опуклим многогранником і скінченновимірним підпростором лінійного нормованого простору, частинним випадком якої є задача найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору його скінченновимірним підпростором.

Для цієї задачі встановлено існування екстремального елемента, співвідношення двоїстості, критерій екстремальності елемента, побудовано збіжний чисельний метод одночасного розв’язування прямої та двоїстої задач, отримано двосторонні оцінки збіжності, які дозволяють знаходити відповідні величини з наперед заданою точністю.