Оцінка найкращих наближень для узагальненої похідної в банахових просторах
DOI:
https://doi.org/10.32626/2308-5878.2021-22.90-96Анотація
Основна задача теорії наближень полягає в тому, щоб, грунтуючись на досліджуваних властивостях даної функції, встановити властивості її апроксимаційних характеристик.
Функції з однаковими властивостями об’єднуються в класи, і тоді факти, встановлені для певного класу, відносяться і до кожного його представника. При цьому з'являється можливість формулювати нові задачі, зокрема, задачі математичного моделювання вже для цілих класів функцій, які описують досліджувані процеси.
Якщо твердження дають можливість зробити висновок про швидкість прямування до нуля послідовності найкращих наближень елемента f поліномами степеня n за інформацією про узагальнену похідну цього елемента, то їх в теорії наближень прийнято називати прямими теоремами.
У статті розглядається обернена теорема — за властивостями послідовності найкращих наближень робимо висновок про властивості самого елемента f деякого банахового простору B і його узагальнених похідних, тобто за заданою послідовністю найкращих наближень вектора f поліномами степеня n встановлюються його диференціально-різницеві характеристики.
Перші обернені теореми були розглянуті ще на початку минулого століття С. Н. Бернштейном. Основним моментом їх доведення є нерівності між нормами поліномів і їх похідних. Такі нерівності називаються нерівностями Бернштейна. Як частковий випадок, вони можуть бути отримані з теореми, розглянутої в статті.
Посилання
Arestov V. V. On integral inequalities for trigonometric polynomials and their derivatives. Publishing house of the Academy of Sciences of the USSR. Series of mat. 1981. T. 45. S. 3-22.
Bernshtein S. N. On the best approximation of continuous functions by means of polynomials of a given degree. Moscow: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1952. No. 1. P. 11-104.
Sigmund A. Trigonometric series. Moscow: Mir, 1965. Vol. 1, 2.
Stepanets A. I. Methods of Approximation Theory. Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2002. Part I. 427 p.
Stepanets A. I. Methods of Approximation Theory Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2002. Part II. 468 s.
Stepanets A. I., Zhukina E. I. Inverse theorems of approximation of -differentiable functions. Ukr. mat. zhurn. 1989. Issue 41. № 86. S. 1106-1112.
Szego G. Uber einen satz des Hern Serge Bernstein. Schrift. Konigsberg. Gelehrten Gesellschaft. 1928. Vol. 5. № 4. P. 59-70.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Authors who publish with this journal agree to the following terms:- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
