Нові апроксимаційні ефекти ядер Вейля-Надя

Анотація

У рівномірній метриці задача отримання точних значень найкращих наближень на класах 2π-періодичних функцій, r-ті (r Î N) похідні яких знаходяться в одиничній сфері простору суттєво обмежених функцій, була розв’язана в 1936 р. Ж. Фаваром [1]. Такі класи можна розглядати також як класи згорток, що породжені відомими в науковій літературі з теорії наближення ядрами Бернуллі. При розв’язанні задачі Ж. Фавар висунув гіпотезу, що аналогічну задачу при дробових значеннях параметра r теж можна реалізовувати за запропонованою схемою. В основі ідеї розв’язку задачі лежить теорема Ролля про співвідношення між числом нулів функції та числом нулів її похідної. В останній час до задач, для яких вірна теорема Ролля, підвищена увага математиків, і з її використанням вдалося знайти розв’язки багатьох задач теорії наближення. Над гіпотезою Ж. Фавара працювали багато видатних математиків: Н. І. Ахіє­зер, М. Г. Крейн, С. М. Нікольський, С. Б. Стєчкін, Сунь Юн-шен та ін. Остаточні результати по розв’язанню задачі знаходження точних значень величин найкращих наближень на класах, що породжуються ядрами Вейля-Надя та які узагальнюють ядра Бернуллі, у метриках просторів неперервних і відповідно сумовних функцій, належать В. К. Дзядику [2].

Задачу сумісного наближення періодичних функцій та їх похідних в постановці, аналогічній до розглянутої в цій роботі, започатковано О. І. Степанцем. Знаходження точного значення величин найкращих наближень окремих, та найбільш важливих (за вдалою пропозицією О.І. Степанця [3]) лінійних комбінацій функцій із класів Вейля-Надя в рівномірній та інтегральній метриках детально досліджено у роботах авторів (див., зокрема, [4, 5]) з найкращого сумісного наближення функцій із класів, що задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами. У випадку кількості доданків m лінійної комбінації рівною одиниці величини найкращого сумісного наближення та величини найкращих наближень співпадають. У статті, яка є логічним продовженням знаходження величин найкращого та найкращого сумісного наближення, досліджуються лінійні комбінації функцій класів Вейля-Надя у метриках просторів неперервних і відповідно сумовних функцій при значеннях параметрів задачі, що доповнюють знайдені раніше. В ній знайдені умови на параметри задачі найкращого сумісного наближення, при яких ядра згорток задовольняють достатні умови Надя найкращого наближення в інтегральній метриці.