Алгоритм розкладу цілих чисел і гладкого наближення функцій

Анотація

Узагальнено задачу про розклад степенів на розклад цілих додатних чисел за послідовністю степенів різних порядків, виведені умови розкладу, побудовано алгоритм розкладу. Алгоритм заснований на двох процедурах: 1) досягнення мінімуму нев’язки на кожному кроці алгоритму, 2) прискорення швидкості розкладу шляхом розширення локального базису за рахунок пониження показника степенів розкладу, що забезпечує скінченність алгоритму. Алгоритм володіє такими факторами ефективності, як висока швидкість розкладу, простота реалізації, можливість різних варіантів розкладу чисел у розширеному, звуженому, розрідженому базисах, що захищає закодовану інформацію від зовнішніх впливів. Алгоритм можна застосувати для кодування цифрової інформації великих об’ємів за базисними системами малих розмірностей.

Розклад додатних чисел за послідовністю степенів є оптимальним і коректним. Оптимальність розкладу випливає з умови, що на кожному кроці алгоритму досягається мінімальне значення нев'язки у просторі змішаних параметрів  x Î N, y Î R. Коректність алгоритму є наслідком того, що при зменшенні нев'язки алгоритм розширює базис розкладу за рахунок зменшення показників степеня на одиницю. Перейшовши від дискретної моделі до неперервної шляхом заміни степенів на степеневі функції, дістанемо гладке наближення погано зумовленої функції в околі розкладу. Побудова позіномиальних многочленів на базі гладких многочленів є одним з перспективних напрямів інтегрування погано зумовлених недиференційовних функцій, гладкої заміни змінних в теорії катастроф.

Позіноми (функції із змінним показником степеня) прогнозують крок розбиття проміжка інтегрування на частини, оскільки визначають логарифмічну швидкість зміни довільної монотонної функції. Метод розкладу цілих чисел забезпечує оптимальний розклад на суму степенів, і, тому перехід від дискретної моделі до неперервної в околі розкладу шляхом заміни степенів на степеневі функції, дозволяє отримати високу точність наближення.