Умови екстремальності допустимого елемента для узагальненої задачі Штейнера в деякому полінормованому просторі

Автор(и)

  • Уляна Гудима Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, Ukraine
  • Василь Гнатюк Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.32626/2308-5878.2022-23.29-43

Анотація

Відомо, що важливою екстремальною задачею в лінійному нормованому просторі є класична задача Штейнера, яка полягає у відшуканні в множині цього простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кількох фіксованих точок простору була б мінімальною (див, наприклад, [1, с. 314]).

У цій задачі передбачається, що всі відрізки лінійного нормованого простору є «однорідними». Проте на практиці часто їх довжини мають різні «вагові» характеристики.

З урахуванням зазначеного приходимо до задачі відшукання в множині лінійного нормованого простору такої точки, сума зважених відстаней до якої від кількох фіксованих точок цього простору була б мінімальною (див, наприклад, [2, с. 468; 3; 4]).

Задача, що розглядається в статті, отримується внаслідок заміни у класичній задачі Штейнера суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками множини її допустимих елементів, які визначаються однією нормою, сумою відстаней між зазначеними вище точками з додатними ваговими коефіцієнтами, які визначаються відповідними, взагалі кажучи, різними нормами, заданими на цьому лінійному просторі. Її названо узагальненою задачею Штейнера в полінормованому просторі.

Зрозуміло, що описані вище екстремальні задачі є частковими випадками узагальненої задачі Штейнера в полінормованому просторі.

Частковим випадком цієї задачі є також задача найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яка досліджувалась багатьма авторами.

Основні результати дослідження задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору підсумовані, зокрема, у монографіях Н. І. Ахієзера [5], В. К. Дзядика [6], М. П. Корнєйчука [7], О. І. Степанця [8, 9] та ін.

У статті встановлено умови екстремальності допустимого елемента для узагальненої задачі Штейнера в поліноміальному просторі, які узагальнюють відповідні результати, отримані, зокрема, у працях [3; 7; 10] для описаних вище часткових випадків цієї задачі.

Посилання

Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. Москва: Наука, 1967. 460 с.

Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Москва: Наука, 1973. 552 с.

Рубинштейн Г. Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве. Сиб. матем. журн. 1965. Вип. 6. № 3. С. 711-714.

Гудима У. В., Гнатюк В. О. Умови існування екстремального елемента для узагальненої задачі Штейнера в метричному просторі обмежених замкнених множин лінійного нормованого простору. Вісник Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка. Фізико-математичні науки. Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка. 2021. Вип. 14. С. 8-13.

Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Москва: Наука, 1965. 407 с.

Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций. Москва: Наука, 1977. 510 с.

Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. Москва: Наука, 1976. 320 с.

Степанец А. И. Методы теории приближений. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. Ч. І. 427 с.

Степанец А. И. Методы теории приближений. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. Ч. ІІ. 468 с.

Смирнов Г. С. О критерии наилучшего приближения абстрактной функции со значениями в банаховом пространстве. Киев, 1973. 20 с. (Препринт/АН УССР. Ин.-т математики; ИМ-73-8).

Пирковский А. Ю. Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов. Москва: МЦНМО, 2010. 176 с.

Кадец В. М. Курс функционального анализа: учебное пособие для студентов механико-математического факультета. Харьков: ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. 607 с.

##submission.downloads##

Опубліковано

2022-10-10