Узагальнення негативних результатів для інтерполяційного опуклого наближення функцій, що мають дробову похідну в просторі Соболєва

Анотація

Розглянуто питання інтерполяційного наближення функцій з класу Соболєва алгебраїчними поліномами. Питання позитивної апроксимації це питання апроксимації позитивних та r-разів неперервно диференційованих функцій алгебраїчними поліномами. Оцінки типу (1) для позитивної апроксимації розглядаються в роботах [1, 2]. Питання монотонної апроксимації це питання наближення монотонних функцій з класу Соболєва монотонними алгебраїчними поліномами. Оцінки типу (1) для монотонної апроксимації були доведені в роботах [3, 4, 7]. В роботах [3, 4] розглядається натуральний індекс в просторі Соболєва, який не дорівнює одиниці. В роботі [7] розглядається дійсний індекс простору Соболєва, який строго більший за два. Доведено, що оцінки типу (1) не виконуються для дійсного індексу більшого за два. Питання опуклої апроксимації це питання апроксимації опуклих функцій з класу Соболєва опуклими поліномами. Питання опуклої апроксимації розглядалося в роботах [8-10]. В роботі [8] розглядався натуральний індекс простору Соболєва, який не дорівнює одиниці. У роботі [9] розглядався дійсний індекс простору Соболєва, який строго більший за два. Було доведено, що для опуклої апроксимації оцінки типу (1) є хибними для дійсного індексу Соболєва, який більший за два. У роботі [10] розглядається питання опуклої апроксимації функцій з простору Соболєва опуклими алгебраїчними поліномами, якщо індекс простору Соболєва знаходиться в інтервалі від трьох до чотирьох. Доведено, що оцінка, яка узагальнює (1) є хибною. У роботі досліджується питання наближення опуклих функцій з простору Соболєва опуклими алгебраїчними поліномами для дійсного індексу простору Соболєва з інтервалу від двох до трьох. Аналогічно роботі [10], побудовано контрприклад, який показує, що оцінка, яка узагальнює оцінку (1) є хибною. Ця робота є узагальненням результату робіт [9] та [11]. Основний результат є аналогом теореми 2.3 в [11].