Точні константи найкращих односторонніх наближень суми аналітичних функцій із різних класів

Анотація

Задача отримання точних значень найкращих наближень тригонометричними многочленами неперервних або сумовних функцій бере свій початок у роботах П. Л. Чебишева, який ще у 50-х роках XIX століття поставив задачу про знаходження многочлена, який найменше відхиляється від заданої неперервної функції. Згодом цей напрям в теорії наближення набув подальшого розвитку завдяки роботам К. Вейєрштрасса, Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, Валле-Пуссена та ін. На даний час спостерігається підвищена увага до задач одностороннього наближення окремих функцій та їх класів в метриці простору L. Задачі такого змісту виникають в теорії чисел, теорії кодування та інших областях математики. Перші результати такого напрямку були отримані в 1880-х роках А. А. Марковим та Т. Й. Стілтьєсом. В подальшому ці дослідження були продовжені в роботах Й. Карамати (1930), Г. Фройда і Т. Ганеліуса (середина ХХ століття).

Загальні питання, пов’язані із задачею найкращого наближення класів функцій тригонометричними многочленами: існування многочлена найкращого наближення, його характеристичних властивостей, односторонні наближення детально викладені у багатьох працях, зокрема, наприклад, в книзі М. П. Корнєйчука [1], працях Т. Ганеліу­са [4], В. Г. Дороніна, А. А. Лігуна [5].

 В даній роботі знайдено точні константи найкращого одностороннього наближення суми мажорантних функцій класів, що допускають аналітичне продовження в смугу фіксованої ширини, та функцій, гармонійних в крузі радіуса 1.