Матрична алгебра В як евклідовий простір
DOI:
https://doi.org/10.32626/2308-5878.2023-24.5-13Анотація
Представлення інформації за допомогою гіперкомплексних числових систем використовується в різних задачах науки і техніки: у класичній механіці, механіці твердого тіла, електродинаміці, радіоелектроніці, комп’ютерній анімації та інших [1].
Часто під гіперкомплексною системою (тобто системою, елементи якої вважаються гіперкомплексними числами) розуміють будь-яку скінченновимірну алгебру над полем. Важливе місце серед таких алгебраїчних структур займають матричні алгебри.
Неможливість побудови алгебр з діленням зовсім не означає неможливість побудови алгебр без ділення, але за своїми властивостями близьких до перших (використання доозначеного ділення).
Оскільки кожна алгебра скінченного рангу може бути мономорфно занурена у деяку повну матричну алгебру, то це спричинило, так би мовити, інверсний підхід до побудови нових алгебр. З повної матричної алгебри виділяється деяка підалгебра, яка є матричним поданням алгебри скінченного рангу. Саме реалізація такого підходу дає можливість наділяти елементи алгебри скінченного рангу матричними характеристиками, зокрема будується канонічне подання елементів алгебри через спектральне подання матриці, а сама алгебра наділяється топологічною структурою через одну із матричних норм. При цьому часто накладають іще додаткову умову, щоб це була алгебра над полем дійсних або комплексних чисел; у першому випадку кажуть про «дійсну» гіперкомплексну систему, у другому – про «комплексну».
У статті побудовано дійсну алгебру скінченного рангу, елементами якої є матриці другого порядку з однаковою сумою рядків і стовпців. Ми наділили її нормою і скалярним добутком, продемонструвавши, що вона є евклідовим простором. Ця алгебра є матричним поданням алгебри гіперкомплексних чисел, які ми назвали у своїх дослідженнях бінарними [4].
Посилання
Синьков М. В., Боярінова Ю. Є., Каліновський Я. О. та ін. Розвиток теорії гіперкомплексного представлення інформації та її застосування. Київ: Ін-т проблем реєстрації інформації НАН України. С. 28-48
Вотякова Л. А. V3-алгебри. Наукові записки ВДПУ ім. М. Коцюбинського. 2013. Вип. 8. С. 199-202.
Вотякова Л. А. Матрична алгебра M2. Наукові записки НПУ ім. М. П. Дра-гоманова. 2013. № 4. С. 14-17.
Працьовитий М. В., Вотякова Л. А. Аналіз на алгебрі бінарних чисел. Науковий часопис НПУ ім. М. П. Драгоманова. 2015. С. 282-300.
Хорн Р., Джонсон У. Матричной анализ / [пер с англ.]. Москва: Мир, 1986. 534 с.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Authors who publish with this journal agree to the following terms:- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
