Матрична алгебра В як евклідовий простір

Автор(и)

  • Леся Вотякова Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, Ukraine
  • Вікторія Боденчук Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.32626/2308-5878.2023-24.5-13

Анотація

Представлення інформації за допомогою гіперкомплексних числових систем використовується в різних задачах науки і техніки: у класичній механіці, механіці твердого тіла, електродинаміці, радіоелектроніці, комп’ютерній анімації та інших [1].

Часто під гіперкомплексною системою (тобто системою, елементи якої вважаються гіперкомплексними числами) розуміють будь-яку скінченновимірну алгебру над полем. Важливе місце серед таких алгебраїчних структур займають матричні алгебри.

Неможливість побудови алгебр з діленням зовсім не означає неможливість побудови алгебр без ділення, але за своїми властивостями близьких до перших (використання доозначеного ділення).

Оскільки кожна алгебра скінченного рангу може бути мономорфно занурена у деяку повну матричну алгебру, то це спричинило, так би мовити, інверсний підхід до побудови нових алгебр. З повної матричної алгебри виділяється деяка підалгебра, яка є матричним поданням алгебри скінченного рангу. Саме реалізація такого підходу дає можливість наділяти елементи алгебри скінченного рангу матричними характеристиками, зокрема будується канонічне подання елементів алгебри через спектральне подання матриці, а сама алгебра наділяється топологічною структурою через одну із матричних норм. При цьому часто накладають іще додаткову умову, щоб це була алгебра над полем дійсних або комплексних чисел; у першому випадку кажуть про «дійсну» гіперкомплексну систему, у другому – про «комплексну».

У статті побудовано дійсну алгебру скінченного рангу, елементами якої є матриці другого порядку з однаковою сумою рядків і стовпців. Ми наділили її нормою і скалярним добутком, продемонструвавши, що вона є евклідовим простором. Ця алгебра є матричним поданням алгебри гіперкомплексних чисел, які ми назвали у своїх дослідженнях бінарними [4].

Посилання

Синьков М. В., Боярінова Ю. Є., Каліновський Я. О. та ін. Розвиток теорії гіперкомплексного представлення інформації та її застосування. Київ: Ін-т проблем реєстрації інформації НАН України. С. 28-48

Вотякова Л. А. V3-алгебри. Наукові записки ВДПУ ім. М. Коцюбинського. 2013. Вип. 8. С. 199-202.

Вотякова Л. А. Матрична алгебра M2. Наукові записки НПУ ім. М. П. Дра-гоманова. 2013. № 4. С. 14-17.

Працьовитий М. В., Вотякова Л. А. Аналіз на алгебрі бінарних чисел. Науковий часопис НПУ ім. М. П. Драгоманова. 2015. С. 282-300.

Хорн Р., Джонсон У. Матричной анализ / [пер с англ.]. Москва: Мир, 1986. 534 с.

##submission.downloads##

Опубліковано

2023-10-25