Умови існування екстремального елемента узагальненої задачі Штейнера в полінормованому просторі, в якій відхилення між елемен-тами визначаються з допомогою сублінійних функціоналів

Анотація

Важливе місце серед екстремальних задач займає класична задача Штейнера, яка полягає у відшуканні в заданій множині лінійного нормованого простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кількох фіксованих точок цього простору не буде перевищувати суми відстаней від них до будь-якої іншої точки допустимої множини (буде мінімальною) (див., наприклад, [1, с. 314]).

У класичній задачі Штейнера приймається, що всі відрізки лінійного нормованого простору є «однорідними». Проте на практиці їх довжинам приписують різні «вагові» характеристики. В результаті приходять до, так званої, «зваженої» задачі Штейнера (див., наприклад, [2, с. 468; 3, 4]), яка, в свою чергу, є частковим випадком задачі, в якій суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками його множини, що визначалися зваженими нормами, замінено на суми відстаней між цими точками, які, взагалі кажучи, визначаються різними нормами, заданими на розглядуваному лінійному просторі. Внаслідок такої заміни отримаємо узагальнену задачу Штейнера в полінормованому просторі [5].

Як відомо, виникають задачі, зокрема задачі наближення, в яких міра відхилення між фіксованими елементами та елементами заданої множини є, так званою «викривленою метрикою».

Задача, що розглядається в статті, отримується внаслідок заміни в узагальненій задачі Штейнера в полінормованому просторі суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками множини допустимих елементів, які визначаються різними нормами, заданими на лінійному просторі, сумою відхилень між зазначеними точками, які визначаються невід’ємними неперервними сублінійними функціоналами, заданими на відповідних лінійних нормованих просторах. У статті для цієї задачі встановлено деякі умови існування екстремального елемента (точки Штейнера), які узагальнюють відповідні результати, отримані, зокрема, у праці [6] для задачі найкращої апроксимації елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору.