Теорема існування для задачі масопереносу на графі

Автор(и)

  • Валерій Колесников Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.32626/2308-5878.2023-24.70-80

Анотація

Процес масопереносу у пористому середовищі описується за допомогою рівняння Річардса-Клюта. Дане рівняння враховує дії капілярності та гравітації, що впливають на потоки маси, та дозволяє моделювати процес масопереносу, враховуючи межу повного насичення. Рівняння Річардса-Клюта є нелінійним еліптико-параболічним диференціальним рівнянням у часткових похідних, тому основними методами для знаходження його розв’язків та моделювання процесу масопереносу є чисельні методи.

У статті розглядається модель системи з’єднаних між собою труб, всередині яких відбувається процес масопереносу. Такі системи часто зустрічаються у сільському господарстві та активно використовуються при побудові іригаційних систем. У статті пропонується моделювати дані системи труб за допомогою графів, де труби представляються ребрами графу, а точки з’єднання або вільні кінці труб системи – вершинами графу.

Стаття містить означення рівняння Річардса-Клюта на графі у звичайній та слабкій формах. На ребрах графу розглянуті одновимірні рівняння Річардса-Клюта, в той час як на вершинах або задані крайові умови, або наведене рівняння, що моделює закон збереження маси. Також наведено означення розв’язку та слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі. Також у статті доведена теорема про існування слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі.

Для доведення теореми існування слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі застосовується перетворення Кірхгофа та наводяться умови, що є аналогічними до умов, які використовуються в доведенні існування слабкого розв’язку для рівняння Річардса-Клюта в звичайних областях в тривимірному просторі, та які визначаються в класичній роботі Альта та Лукхауса, що присвячена проблемам існування та єдиності слабких розв’язків еліптико-параболічних диференціальних рівнянь в часткових похідних

Посилання

Srivastava R., Jim Yeh T.-C. Analytical Solutions for One-Dimensional, Transient Infiltration Toward the Water Table in Homogeneous and Layered Soil. Water Resources Research. 1991. Vol. 27. № 5. P. 753-762. URL: https://doi.org/10.1029/90WR02772.

Broadbridge P., Daly E., Goard J. Exact Solutions of the Richards Equation With Nonlinear Plant-Root Extraction. Water Resources Research. 2017. Vol. 53. P. 9679-9691. URL: https://doi.org/10.1002/2017WR021097.

De Luca D. L., Cepeda J. M. Procedure to Obtain Analytical Solutions of One-Dimensional Richards’ Equation for Infiltration in Two-Layered Soils. Journal of Hydrologic Engineering. 2016. Vol. 21. № 7. URL: https://doi.org/10.1061/-(ASCE)HE.1943-5584.0001356.

Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations. Math. Z. 1983. Vol. 183. № 1. P. 311-341. URL: https://doi.org/10.1007/BF01176474.

Bertsch M., Hulshof J. Regularity Results for an Elliptic-Parabolic Free Boundary Problem. Transactions of the American Mathematical Society. 1986. Vol. 297. № 1. P. 337-350. URL: https://doi.org/10.2307/2000472.

Degtyarev S. P. Elliptic-parabolic equation and the corresponding free boundary problem I: Elliptic problem with a parameter. Ukr. Math. Vystnyk. 2014. Vol. 11. № 1. P. 15-48.

Degtyarev S. P. Elliptic-parabolic equation and the corresponding free boundary problem II: smooth solution. Ukr. Math. Vystnyk. 2014. Vol. 11. № 1. P. 447-479.

Zha Y., Yang J., Yin L., Zhang Y., Zeng W., Shi L. A modified Picard iteration scheme for overcoming numerical difficulties of simulating infiltration into dry soil. Journal of Hydrology. 2017. Vol. 551. Р. 56-69. DOI: 10.1007/11823285_121.

Shahraiyni H. T., Ataie-Ashtiani B. Mathematical Forms and Numerical Schemes for the Solution of Unsaturated Flow Equations. Journal of Irrigation and Drainage Engineering. 2012. Vol. 138. № 1. Р. 63-72. URL: https://doi.org/10.1061/(ASCE)IR.1943-4774.0000377

Farthing M. W., Ogden F. L. Numerical Solution of Richards’ Equation: A Review of Advances and Challenges. Soil Science Society of America Journal. 2017. Vol. 81. № 6. Р. 1257-1269. URL: https://doi.org/10.2136/sssaj2017.02.0058

Zha Y., Yang J., Zeng J., Tso C.-H. M., Zeng W., Shi L. Review of numerical solution of Richardson-Richards equation for variably saturated flow in soils. WIREs Water. 2019. Vol. 6. № 5. URL: https://doi.org/10.1002/wat2.1364

Колесников В. А. Аналіз побудови чисельних методів для розв'язання рівняння Річардса-Клюта. Ж. Обч. Пр. Мат. 2023. № 1. С. 28-38. URL: https://doi.org/10.17721/2706-9699.2023.1.03

##submission.downloads##

Опубліковано

2023-11-03