Теорема існування для задачі масопереносу на графі

Анотація

Процес масопереносу у пористому середовищі описується за допомогою рівняння Річардса-Клюта. Дане рівняння враховує дії капілярності та гравітації, що впливають на потоки маси, та дозволяє моделювати процес масопереносу, враховуючи межу повного насичення. Рівняння Річардса-Клюта є нелінійним еліптико-параболічним диференціальним рівнянням у часткових похідних, тому основними методами для знаходження його розв’язків та моделювання процесу масопереносу є чисельні методи.

У статті розглядається модель системи з’єднаних між собою труб, всередині яких відбувається процес масопереносу. Такі системи часто зустрічаються у сільському господарстві та активно використовуються при побудові іригаційних систем. У статті пропонується моделювати дані системи труб за допомогою графів, де труби представляються ребрами графу, а точки з’єднання або вільні кінці труб системи – вершинами графу.

Стаття містить означення рівняння Річардса-Клюта на графі у звичайній та слабкій формах. На ребрах графу розглянуті одновимірні рівняння Річардса-Клюта, в той час як на вершинах або задані крайові умови, або наведене рівняння, що моделює закон збереження маси. Також наведено означення розв’язку та слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі. Також у статті доведена теорема про існування слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі.

Для доведення теореми існування слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі застосовується перетворення Кірхгофа та наводяться умови, що є аналогічними до умов, які використовуються в доведенні існування слабкого розв’язку для рівняння Річардса-Клюта в звичайних областях в тривимірному просторі, та які визначаються в класичній роботі Альта та Лукхауса, що присвячена проблемам існування та єдиності слабких розв’язків еліптико-параболічних диференціальних рівнянь в часткових похідних