Обернена теорема для узагальненої похідної в банахових просторах

Анотація

Встановлення властивостей апроксимаційних характеристик досліджуваних функцій є однією з основних задач теорії наближень. Якщо, виходячи з інформації про поведінку узагальненої похідної деякої функції f, можна прогнозувати поведінку послідовності найкращих наближень цієї функції поліномами, то тоді йде мова про постановку і доведення прямих теорем теорії наближень.

Якщо ж досліджуються властивості самої функції f Î X і її узагальнених похідних, спираючись на поведінку послідовності найкращих наближень, тобто, встановлюються диференціально-різницеві характеристики функції f на основі вивчення поведінки послідовності її найкращих наближень, то тоді кажуть про доведення обернених теорем теорії наближень.

Дослідження прямих та обернених теорем починається з робіт 1910-1912 років Бернштейна, Валле Пуссена, Джексона та інших. Вони були продовжені багатьма вченими (Н. І. Ахіє­зер, М. Г. Крейн, Ж. Фавар, Б. В. Стєчкін, С. М. Нікольський, А. Ф. Тіман, А. Зігмунд, В. К. Дзядик, О. І. Степанець). Ще й досі в теорії наближень залишається багато важливих і не роз­в’я­заних задач, зокрема таких, як поширення прямих та обернених теорем на нові класи функцій та встановлення найкращих значень сталих у відповідних нерівностях. При цьому з'являється можливість формулювати нові задачі, зокрема, задачі математичного моделювання вже для цілих класів функцій, які описують досліджувані процеси.

У статті розглядається обернена теорема – за властивостями послідовності найкращих наближень робиться висновок про властивості самого елемента f деякого банахового простору X і його узагальнених похідних, а також встановлюються співвідношення між константами Сеге за різними еквівалентними системами елементів банахового простору