Екстремальні значення найкращих наближень лінійних комбінацій гармонічних функцій

Анотація

Екстремальні задачі та їх практичні застосування знаходилися під пильною увагою математиків з давніх часів. Важливий крок в розвиток екстремальних задач зробив П. Л. Чебишев, який ще у 50-х роках ХIХ століття заклав основи розділу конструктивної теорії функцій – теорії наближення.

Суттєву роль у формуванні теорії наближення функцій відіграла теорема Карла Вейєрштрасса про збіжність до нуля послідовності найкращих наближень многочленами неперервної функції. Як відомо, теорема Вейєрштрасса є неконструктивною – вона не містить оцінок швидкості наближення. Завдяки роботам Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, Валле-Пуссена та ін. такі оцінки стали з’являтися в роботах по теорії наближення.

При цьому на перших етапах розвитку теорії наближення проводилось вивчення наближень окремих функцій. Початок нового періоду, більш глибокого дослідження величин відхилень функцій від їх наближаючих многочленів, відноситься до 30-40-х років ХХ століття і пов’язаний з іменами А. М. Колмогорова, С. М. Нікольського, Ж. Фавара, Н. І. Ахієзера, М. Г. Крейна, Б. Надя. Завдяки їхнім працям основний акцент в теорії наближень зміщується в бік вивчення найкращих наближень чи інших апроксимаційних характеристик для класів функцій, які мають певні диференціально-різницеві чи гладкісні властивості. Зокрема, у 1936 році Ж. Фавар обчислив точні значення найкращих рівномірних наближень тригонометричними многочленами порядку не вищого n – 1 на класах диференційовних 2π-періодичних функцій, r-ті (r – натуральне) похідні яких знаходяться в одиничній сфері простору суттєво обмежених функцій. Питання отримання точних значень найкращих наближень в рівномірній та інтегральній метриках для різноманітних функціональних компактів знаходилось у полі зору багатьох видатних математиків XX сторіччя.

Загальні питання, пов’язані з вивченням функціоналу найкращого наближення: існування многочлена найкращого наближення, його характеристичних властивостей, детально викладені у багатьох монографіях, зокрема, наприклад, в книзі М. П. Корнєйчука [1]. У 80-90-х роках XX сторіччя О. І. Степанцем (див., напр. [2, розд. ІІІ] був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. При цьому отримані результати для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з іншого – дають цілу низку нових, невідомих до цього часу, результатів, які на відомих раніше класах отримати було неможливо. Притримуючись підходів до вимог класифікації функцій, ми можемо розглядати лінійну комбінацію класів функцій як деякий один клас – більш складнішого характеру. І тоді задача знаходження точних значень верхніх граней найкращих сумісних наближень зведеться до задачі найкращого наближення цього складеного класу, що відповідає згорткам з твірним складеним ядром.