Застосування методу двобічних наближень до розв’язання першої крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності з експоненціально нелінійним коефіцієнтом теплопровідності

Анотація

Задача про теплопровідність об’єктів у нелінійних середовищах зводиться до розв’язання крайових задач для нелінійного рівняння теплопровідності, де коефіцієнти рівняння або функція потужності теплових джерел залежать від температури за деяким законом. Серед чисельних методів розв’язання задач для нелінійних рівнянь математичної фізики можна виділити методи скінченних різниць, скінченних елементів, варіаційні та проекційні, а також ітераційні методи. Серед останньої групи методів найбільш привабливим є метод двобічних наближень завдяки можливості отримати зручну оцінку для похибки наближеного розв’язку і довести існування розв’язку вихідної задачі.

Теорія лінійних напівупорядкованих просторів була побудована Л. В. Канторовичем у другій половині 30-х років XX ст. Подальший розвиток цієї теорії пов’язаний з роботами М. А. Крас­носельського, H. Amann’а, В. І. Опойцева, Н. С. Кур­пеля, Б. А. Шу­вара, А.І. Колосова та інших.

Метою статті є розробка методу двобічних наближень на основі використання функцій Гріна для розв’язання першої крайової задачі для нелінійного одновимірного рівняння теплопровідності і дослідження його роботи при розв’язанні тестових задач. Для досягнення поставленої мети була проведена заміна невідомої функції і крайова задача зведена до інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке розглянуто як нелінійне операторне рівняння у напівупорядкованому банаховому просторі. Отримано умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та умови двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено при розв’язанні тестових задач. Результати обчислювального експерименту проілюстровано графічною та табличною інформаціями.