Умови екстремальності допустимого елемента для задачі відшу-кання узагальненого чебишовського центра кількох точок деякого полінормованого простору відносно множини цього простору

Анотація

У різних розділах математичної науки виникають задачі, пов’язані з необхідністю наближення найкращим чином складних математичних об’єктів більш простими і зручними у користуванні.

Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі найкращого одночасного наближення кількох елементів. До задач найкращого одночасного наближення кількох елементів можна віднести задачу відшукання чебишовського центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно множини цього простору.

Ця задача полягає у відшуканні в заданій множині лінійного нормованого простору такої точки (відносного чебишовського центра), максимальна відстань до якої від кожної з кількох фіксованих точок простору була б найменшою, тобто не перевищувала максимальної відстані від кожної з кількох заданих точок до будь-якої іншої точки цієї множини.

З єдиних позицій задачі найкращої одночасної апроксимації кількох елементів лінійного нормованого простору опуклими множинами цього простору розглядалися, зокрема, у працях [1, 2]. На практиці доводиться мати справу з такими задачами, у яких при відшуканні чебишовського центра кількох заданих точок лінійного нормованого простору відносно множини цього простору фігурують зважені відстані. Задача відшукання чебишовського у розумінні зважених відстаней центра розглядалась, зокрема, у праці [3]. У цій праці встановлено критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору, основані на співвідношенні двоїстості для відповідної екстремальної задачі.

Якщо в задачі про чебишовський центр кількох точок лінійного нормованого простору, в якій відстані між точками визначаються зваженими нормами, зважені норми замінити, взагалі кажучи, різними нормами, заданими на відповідному лінійному просторі, то отримаємо задачу про чебишовський центр кількох точок деякого полінормованого простору, яка розглядається у цій роботі.

Зрозуміло, що задачі про чебишовський центр кількох точок лінійного нормованого простору, про які йшла мова вище є частковими випадками задачі про чебишовський центр кількох точок деякого полінормованого простору.