Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач з монотонними нелінійностями

Анотація

У роботі розглядається застосування методу двобічних наближень для знаходження додатних розв’язків крайових задач для нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь, які мають аксіальну симетрію.

Розглянуто випадок задання крайових умов першого роду, або умов Діріхле. У якості монотонної нелінійності розглядається степенева функція з показником від 0 до 1. Шляхом переходу до полярних координат у крайовій задачі для еліптичного рівняння за рахунок аксіальної симетрії розв’язку розглядувана задача зводиться до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння на відрізку відносно функції, що залежить лише від полярного радіусу, тобто залежність від кута повороту зникає. Полюс полярної системи координат при цьому стає особливою точкою, у якій необхідно поставити умову обмеженості.

Для крайової задачі будується функція Гріна для подальшого зведенням задачі до інтегрального рівняння Гаммерштейна. Інтегральне рівняння розглядається як нелінійне операторне рівняння у банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку неперервних функцій. Оператор досліджується на такі властивості, як монотонність (ізотонність), додатність, обмеженість і увігнутість.

Далі знаходиться початкове наближення як кінці інваріантного конусного відрізка для ізотонного оператора так, щоб забезпечити найвищу швидкість збіжності ітераційного процесу. Будуються наступні ітераційні послідовності двобічних наближень: перша послідовність, що не спадає за конусом, і друга послідовність, що не зростає за конусом. За наближення на кожній ітерації береться середнє арифметичне верхнього і нижнього наближень. Ітераційний процес завершується, коли оцінка похибки розв’язку задовольняє заданій точності.

Отримані у роботі теоретичні результати перевірено за допомогою обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку від параметрів у правій частині, що проілюстровано відповідними графіками.