Найкраще наближення в інтегральній метриці лінійної комбінації періодичних функцій різної парності

Анотація

У багатьох розділах математики часто виникають екстремальні задачі пов’язані із апроксимаційними характеристиками як наближаючих функцій, так і властивостями елементів, якими наближають. Наприклад, для поліномів кількістю точок співпадання значень функції та значень полінома, яким замінюють цю функцію на досліджуваному проміжку. На практиці задача наближення функції f із визначеної множини R зводиться до заміни її за визначеним алгоритмом до близької до неї, в певному розумінні, функції (многочлена) фіксованого степеня.

У рівномірній та, відповідно, інтегральній метриках задача знаходження точних значень найкращих наближень класів r разів диференційовних функцій, r – натуральне число, отримала своє висвітлення в роботах Ж. Фавара [1], Н. І. Ахієзера, М. Г. Крейна [2], Б. Надя, С. М. Нікольського [3], В. К. Дзядика [4], С. Б. Стєчкіна, Сунь Юн-шена та ін.

Остаточні результати по розв’язанню задачі найкращого наближення на класах Вейля-Надя при довільних значення параметрів, що визначають ці класи, належать українському математику В. К. Дзядику [4]. У його роботах на класах функцій, які породжені відомими ядрами Бернуллі, встановлено той факт, що кількість точок співпадання ядра та наближаючого полінома степеня n – 1 не перевищує 2n, враховуючи їх кратність, що і дозволило отримати остаточні результати. В роботі [5] наведені випадки таких лінійних комбінацій парних або ж непарних ядер, для яких кількість рівномірно розташованих точок інтерполяції рівна 2n + 2 для полінома степеня n – 1, який найменше відхилений в метриці простору L від досліджуваної лінійної комбінації.

Ідея дослідження складених ядер, що записуються у вигляді лінійної комбінації складових доданків, належить О. І. Степанцю [6] і отримала відповідне втілення в задачах сумісного наближення функцій та їх похідних. У 80-90-х роках XX сторіччя О. І. Степанцем був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. При цьому отримані результати для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з іншого – дають цілу низку нових, невідомих до цього часу, результатів, які на відомих раніше класах отримати було неможливо. Притримуючись підходів до вимог класифікації функцій, ми можемо розглядати лінійну комбінацію класів функцій як деякий один клас – більш складнішого характеру. І тоді задача знаходження точних значень верхніх граней найкращих наближень зведеться до задачі найкращого наближення цього складеного класу, що відповідає згорткам з твірним складеним ядром.

У роботі досліджуються лінійні комбінації трьох неперервних 2π-періодичних ядер різної парності і встановлено, що існують такі складені ядра, що їх тригонометричний поліном найкращого наближення порядку n – 1 в інтегральній метриці інтерполює ядро в 2n + 2 рівномірно розташованих точках.