Інтерполяційна задача у вагових просторах Пелі-Вінера

Анотація

Ю. Любарський і К. Сейп (Revista Matematica Iberoamericana, 1997 (13), № 2) дослідили критерій існування єдиного розв’язку простої інтерполяційної задачі f(λ_k) = b_k в термінах умов Макенхоупта (неперервної та дискретної (A^p) умови) у просторах Пелі-Вінера цілих функцій експоненційного типу, що не перевищує π, чиє звуження на дійсну вісь співпадає з простором функцій, степінь порядку р модуля яких є інтегрованим за Лебегом на цій осі, з p-нормою (тут р є дійсним числом, більшим за 1). Ці результати дають можливість отримати критерій безумовної базисності системи експонент в просторі функцій, степінь порядку р модуля яких є інтегрованою за Лебегом на (–π; π) функцією. При цьому послідовність комплексних чисел (λ_k) з єдиною граничною точкою на нескінченності, для якої згадана інтерполяційна задача має єдиний розв’язок, називається повною інтерполяційною послідовністю в згаданому просторі Пелі-Вінера.

Згадані результати були узагальненням для випадку p = 2 результатів Павлова (1979), Нікольського (1980) та Мінкіна (1982). Ми ж узагальнюємо ці результати на вагові простори (ва­гою є степенева функція з показником степеня ω) цілих функ­цій експоненційного типу, що не перевищує σ, де σ – неві­д’єм­не дійсне число, ω – дійсне число, більше від –1, з p-нормою, тобто знаходимо умови повноти послідовності інтерполяційної послідовності (λ_k)­ у ваговому просторі Пелі-Вінера. Розглядаємо різні форми цих умов, серед яких і умови Макенхоупта, неперервна та дискретна (A^p) умови. Доведено також, що якщо послідовність комплексних чисел є повною інтерполяційною послідовністю у ваговому просторі Пелі-Вінера, то вона є відносно щільною множиною в просторі С. Побудовано також приклад повної інтерполяційної послідовності у випадку σ = π.