Застосування методу двобічних наближень до розв’язання задачі Діріхле для напівлінійного рівняння з бігармонічним оператором, що є математичною моделлю мікроелектромеханічної системи

Анотація

У статті розглянуто задачу Діріхле для напівлінійного диференціального рівнянням з бігармонічним оператором, що виникає при математичному моделюванні різних фізичних процесів. Зокрема, пропонується розглянути процес прогину круглої пластини під дією електростатичної сили та гідростатичного тиску, що моделює роботу актюатора – основного механізму більшості мікроелектромеханичних систем (МЕМС).

У статті пропонується до розв’язання відповідної крайової задачі застосувати метод двобічних наближень на основі використання методу функцій Гріна. Вибір методу обумовлено тим, що він дає змогу отримати умови існування розв’язку вихідної задачі та має зручну апостеріорну оцінку похибки наближеного розв’язку.

Процес розв’язання методом двобічних наближень ґрунтується на тому, що задача для нелінійного диференціального рівнянням з бігармонічним оператором за допомогою методу функцій Гріна була зведена до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке було досліджено методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Побудовано ітераційний процес знаходження додатного розв’язку задачі та отримано умови його двобічної збіжності. Для конкретних значень параметрів моделі проведено низку обчислювальних експериментів та виконано порівняння з результатами, отриманими іншими авторами. Проведено аналіз зміни максимального відхилення пластини при різних значеннях тиску та постійному значенні напруги.

Новизна роботи полягає у тому, що до нелінійного рівняння з бігармонічним оператором метод двобічних наближень було застосовано вперше. Результати, отримані у роботі, свідчать про успішність застосування розробленого алгоритму до моделювання розглядуваного процесу.

Оскільки було розглянуто моделювання актюатора, який складається з круглих пластин, то отримані результати можуть бути використані при проєктування та дослідженні поведінки ультразвукових перетворювачів, датчиків тиску, мініатюрних насосів і детекторів газу тощо.