Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач із сингулярними нелінійностями

Анотація

У роботі розглядається знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач для нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь методом двобічних наближень.

Розв’язується перша крайова задача, або задача Діріхле. Нелінійність за характером у даному випадку є антимонотонною: вона описується степеневою залежністю з показником від –1 до 0. Після переходу до полярної системи координат у крайовій задачі для еліптичного рівняння за рахунок аксіальної симетрії розв’язку розглядувана задача зводиться до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння на відрізку. Розв’язок залежить тільки від полярного радіусу, тобто залежність від кута повороту зникає. У такому випадку полюс полярної системи координат стає особливою точкою, в якій виникає необхідність поставити для розв’язку умову обмеженості.

Для крайової задачі знаходиться функція Гріна, після чого задача зводиться до інтегрального рівняння Гаммерштейна. Це інтегральне рівняння розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Проводиться дослідження оператора на наявність таких властивостей, як антимонотонність (антитонність), додатність, обмеженість і псевдоувігнутість.

Наступним етапом є знаходження початкового наближення як кінців сильно інваріантного конусного відрізка для антитонного оператора так, щоб забезпечити найвищу швидкість збіжності ітераційного процесу. Далі будуються дві ітераційні послідовності двобічних наближень. Перша послідовність не спадає за конусом, друга послідовність не зростає за конусом. За наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього і нижнього наближень. Ітераційний процес продовжується доти, поки оцінка похибки розв’язку не задовольнить заданій точності.

Теоретичні результати, які були отримані в роботі, було перевірено шляхом обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів у правій частині, що проілюстровано відповідними графіками