Існування та єдиність розв’язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння з частинними похідними спеціального вигляду та методи його комп’ютерного моделювання

Анотація

У статті досліджується задача Коші для стохастичного диференціально-функціонального рівняння з частинними похідними спеціального вигляду, яке описує динамічні процеси з пам’яттю під впливом випадкових збурень. Зокрема, вивчаються математичні умови, що гарантують існування та єдиність розв’язку такого рівняння. Теоретичні результати базуються на сучасному апараті стохастичного аналізу та функціонального диференціального числення.

Оскільки розв’язання подібних рівнянь у загальному випадку не може бути отримано аналітично, у роботі розглянуто підходи до їх наближеного чисельного розв’язання. Описано дискретизацію простору та часу, а також способи апроксимації функціональних членів рівняння з використанням буфера пам’яті. Розглянуто реалізацію шумового впливу через додавання просторово-часового стохастичного збурення, змодельованого на основі вінерового процесу.

Для перевірки теоретичних результатів і практичної ілюстрації динаміки процесів з пам’яттю розроблено комп’ютерну програму на мові Python, яка реалізує алгоритм розв’язання з використанням методу наближених обчислень Ейлера-Маруями. Розглянуто рівняння, що описує еволюцію системи з урахуванням просторового поширення (дифузії), згасання, впливу історії станів (ефект пам’яті) та випадкових збурень (шуму). Для наближеного розв’язання цього рівняння використовується дискретизація простору і часу та апроксимація інтегралу пам’яті як середнього по буферу попередніх значень. Побудовано графічну візуалізацію зміни стану системи в просторі та часі та теплову карту (heatmap), яка показує, як «розливається» і коливається функція u(t, x) у просторі та часі під впливом пам’яті та шуму. Отримані результати мають перспективу подальшого використання в теорії та практиці комп’ютерного моделювання складних динамічних систем з ефектами пам’яті та стохастичними збуреннями. Зокрема, розроблені підходи можуть бути застосовані до моделювання процесів у фізиці (теплопровідність із запізненням, дифузія в середовищах зі структурною пам’яттю), біології та екології (розповсюдження популяцій або інфекцій з інкубаційними періодами), фінансовій математиці (волатильність із залежністю від минулих станів), а також у технічних та інформаційних системах керування зі стохастичними впливами й запізненням сигналу.