Наближений метод максимальної вірогідності для оцінювання двопорогового процесу Леві. Оцінка збіжності та робота з даними

Анотація

У роботі представлено підхід до моделювання складних динамічних систем із використанням двопорогового процесу Леві, що дозволяє враховувати зміну властивостей процесу при переході через критичні значення. Запропонована модель поєднує три ключові компоненти: зсув, дифузію та стрибкову складову, які разом забезпечують опис як плавних, так і різких змін у поведінці системи. Важливою характеристикою є поділ процесу на три режими, що надає змогу окремо оцінювати параметри в кожному з діапазонів. Такий підхід підвищує гнучкість моделі та робить її придатною для аналізу процесів зі складною ієрархічною динамікою. Для оцінювання параметрів моделі розроблено алгоритм, що базується на наближеній оцінці максимальної правдоподібності. Він реалізований у вигляді ітераційної процедури, яка на кожному кроці уточнює параметри з урахуванням поточних порогових значень і продовжує обчислення до досягнення збіжності. Алгоритм дозволяє оцінювати параметри зсуву, дифузії та стрибкової компоненти, а також здійснює пошук оптимальних порогів. У рамках дослідження було розроблено методику оцінки параметрів у трьох режимах, побудовано ітераційний алгоритм та створено його програмну реалізацію. Алгоритм перевірявся на синтетично згенерованому наборі даних, що дало змогу оцінити точність відновлення параметрів і дослідити його стійкість до варіацій початкових умов. Окрему увагу приділено аналізу збіжності: за допомогою чисельних експериментів продемонстровано, що на кожному кроці ітераційної процедури функція оновлення параметрів зменшує різницю між їхніми оцінками, що гарантує стабільність процесу оптимізації. Отримані результати підтверджують ефективність запропонованого методу для задач виявлення структурних змін у часових рядах. Запропонований підхід дозволяє не лише відтворювати складні траєкторії процесів, а й локалізувати моменти переходу між режимами з різною динамікою. У перспективі розроблена методика може бути застосована до аналізу даних, що відображають реальні економічні чи фізичні процеси, зокрема фінансових ринків, технічних систем або природних явищ, де спостерігаються порогові зміни та неоднорідності у поведінці. Таким чином, модель двопорогового процесу Леві у поєднанні з ітераційним алгоритмом оцінки параметрів може слугувати універсальним інструментом для дослідження динамічних систем із багатокомпонентною структурою.