Блочно-симетричні базиси і багатовимірні формули Ньютона

Анотація

У роботі розвинена конструкція блочно-симетричних інваріантів для послідовностей багатовимірних блоків та отримані багатовимірні формули Ньютона, які пов’язують три природні системи базисів. Дослідження спирається на введення блочних степеневих сум, а також повних і елементарних блочно-симетричних багаточленів, для яких побудовані багатозмінні формальні генеруючі степеневі ряди і встановлено фундаментальну тотожність векторного типу. Показано, що логарифмічна форма цієї тотожності призводить до системи рекурентних співвідношень Ньютона-Жирара з явними комбінаторними коефіцієнтами, що забезпечує коректний облік мономів у багатовимірному випадку. Отримані співвідношення сумісні з класичними формулами та не потребують додаткових припущень щодо комутативності перетворень або спеціальної нормалізації коефіцієнтів. Доведено, що переходи між зазначеними базисами мають трикутний характер щодо природного часткового порядку на мультиіндексах, що забезпечує єдність розкладів і оберненість відповідних лінійних перетворень. Доведено, що блочні степеневі суми утворюють базис інваріантної підалгебри, а повні і елементарні функції надають альтернативні розкладання з чіткими правилами перерахунку коефіцієнтів.

Детально розглянуто нескінченновимірний випадок із усіченням за кількістю блоків. Показано, що усічені представлення утворюють зростаючу за включенням послідовність (кожне наступне містить попереднє) і є рівномірно обмеженими на будь-якій фіксованій множині, що забезпечує рівномірну на компактних множинах збіжність до вихідного інваріанту. На основі цих властивостей сформульовано висновок про мінімальний набір твірних для кожного фіксованого сумарного ступеня. Для будь-якого фіксованого степеня всі інваріанти цього степеня генеруються елементами того ж степеня з будь-якої з трьох систем, при цьому усічені за кількістю блоків ряди рівномірно на компактах сходяться до відповідних повних блочно-симетричних багаточленів. Розроблена схема узагальнює класичну теорію симетричних функцій на блоковий випадок та формує єдину методологію для побудови базисів, взаємних переходів та контролю збіжності, що створює основу для подальших досліджень у галузі комбінаторики та алгебраїчного аналізу інваріантів