Реалізація геометрії Ліпшиця на нескінченності комплексних аналітичних множин

Анотація

У статті здійснено поглиблений аналіз розвитку та застосування ліпшицевої геометрії на нескінченності у дослідженні комплексних аналітичних множин, спрямований на встановлення взаємозв’язку між їхньою алгебраїчною природою та глобальною метричною структурою. Розглянуто узагальнене визначення ліпшицевих і біліпшицевих гомеоморфізмів на нескінченності у термінах метричних просторів, що забезпечує можливість класифікації аналітичних множин за їхньою асимптотичною поведінкою та введення поняття ліпшицевої еквівалентності поза компактними областями. Досліджено клас чистих d-вимірних цілих комплексних аналітичних підмножин, для яких сформульовано та доведено критерій алгебраїчності через існування єдиного дотичного конуса на нескінченності, який виявляється d-вимірною комплексною алгебраїчною множиною. Доведено еквівалентність трьох фундаментальних властивостей: алгебраїчності аналітичної множини; унікальності її дотичного конуса на нескінченності; біліпшицевої гомеоморфності на нескінченності комплексній алгебраїчній множині. Особливу увагу приділено ролі гіпотези Мікса III, яка стосується унікальності дотичних конусів мінімальних поверхонь у R³ із квадратичним зростанням площі, та її зв’язку з поняттям ліпшицевої регулярності на нескінченності. Показано, що метричні інваріанти, зокрема біліпшицеві гомеоморфізми, дозволяють описати асимптотичну жорсткість і стабільність аналітичних структур. Отримані результати узагальнюють і поглиблюють теореми Чоу, Столла-Бішопа та Лоясевича, вводячи нові критерії для ідентифікації алгебраїчних множин за їхніми глобальними метричними характеристиками. Запропонований підхід формує концептуальну основу для подальших досліджень асимптотичної жорсткості, стабільності та деформацій комплексних аналітичних об’єктів у межах сучасної комплексної та диференціальної геометрії