Асимптотика розв’язку багатовимірного рівняння відновлення в матричній формі

Анотація

У статті досліджуються багатовимірні рівняння відновлення, що становлять важливий клас інтегральних рівнянь, пов’язаних із стохастичними процесами з моментами відновлення. Такі рівняння природно виникають у теорії випадкових еволюцій, марковських і напівмарковських процесів, а також у моделюванні систем, які періодично повертаються до початкового стану. Особливу увагу приділено випадку, коли рівняння подано в матричній формі, що дозволяє узагальнити класичні скалярні співвідношення на системи рівнянь, придатні для опису багатокомпонентних процесів.

Розглянуто рівняння відновлення з нелінійним нормуючим множником, який ускладнює аналітичне дослідження, проте робить модель більш гнучкою та близькою до реальних прикладних задач. Для отримання розв’язку застосовано метод перетворення Лапласа, що дало змогу перейти від інтегрального рівняння до алгебраїчної матричної форми, придатної для подальшого аналізу. Отримано явний вираз для перетворення Лапласа розв’язку рівняння відновлення, що є ключовим кроком для подальшого відновлення часової залежності розв’язку.

Крім теоретичного аналізу, у статті наведено приклад для конкретної функції відновлення, який ілюструє ефективність застосованого підходу. Розраховано основні характеристики розв’язку та проаналізовано вплив параметрів функції відновлення на поведінку системи. Отримані результати можуть бути використані при дослідженні стохастичних систем, що допускають структуру відновлення, а також у задачах прикладної ймовірності, теорії надійності та моделюванні складних процесів з багатовимірною динамікою