Найкраще наближення класів функцій, породжених складеними ядрами

Анотація

Множина 2π-періодичних функцій, суттєвий супремум модуля r-тих похідних яких не перевищує одиниці, є класом згорток ядра Бернуллі порядку r із елементами одиничної кулі простору сумовних суттєво обмежених 2π-періодичних функцій із середнім значенням на періоді рівним нулю. В 1936 р. Ж. Фавар знайшов точні значення найкращих наближень таких класів тригонометричними многочленами порядку не вище за n – 1 в рівномірній метриці при кожному натуральному n. У подальших дослідженнях при відшуканні верхніх меж найкращих наближень класів згорток тригонометричними поліномами заданого порядку як в рівномірній так і в інтегральній метриках розглядались ядра Бернуллі дробового порядку, узагальнені ядра Вейля-Надя, ядра Пуассона. У 1938 р. угорський математик Б. Надь запропонував достатню умову для ядра згортки класу (це т. зв. умова Надя): існує тригонометричний многочлен порядку n – 1, який інтерполює ядро в 2n рівномірно розташованих на періоді точках і лише в них із почережною зміною знаку різниці між ядром та цим многочленом. Виконання цієї умови дозволяє обчислити найкраще наближення ядра в інтегральній метриці, найкраще наближення класу згорток з цим ядром у рівномірній та інтегральній метриках. У 1946 р. С. Нікольський узагальнив умову Надя.

Завдяки результатам М. Крейна (1938 р.) в більшості випадків не складно побудувати тригонометричний многочлен, який інтерполює ядро в 2n рівномірно розташованих на періоді точках. Труднощі виникали при доведенні того факту, що більше точок інтерполяції немає. При дослідженні деяких ядер математики зіткнулися з тим фактом, що окрім «гарантованих» 2n точок інтерполяції можуть з’являтися «додаткові» точки інтерполяції. Це спонукало авторів розглянути випадки ядер, для яких «стандартна» умова Надя не виконується. Один із кроків в цьому напрямку робиться в цій роботі. Знайдено деякі достатні умови для лінійних комбінацій парних ядер а також непарних ядер, які тригонометричними многочленами порядку n – 1 інтерполюються лише в 2n + 2 рівномірно розташованих на періоді точках для парного випадку та лише в 2n + 1 рівномірно розташованій на періоді точці зі зміною знаку різниці між лінійною комбінацією та многочленом в точках інтерполяції. Тобто для цих випадків многочлени порядку n – 1 забезпечують найкраще наближення так, якби це були многочлени порядку n. Також у роботі наведені приклади різниць непарних ядер (Бернуллі, Бернуллі та Пуассона), різниці парних ядер Бернуллі, які демонструють одержані в роботі теореми. Як наслідок, у роботі також знайдені величини найкращих наближень тригонометричними многочленами порядку n деяких класів згорток із такими лінійними комбінаціями непарних (парних) ядер, коли для них не виконується умова Надя порядку n, проте виконується ця умова на порядок вище