Умови екстремальності допустимого елемента задачі відшукання точки Штейнера кількох замкнених куль деякого полінормованого простору відносно множини цього простору основані на двоїстому поданні похідної за напрямом еквівалентної їй задачі найкращого наближення

Анотація

Як відомо (див., наприклад, [1, с. 47]), класична задача Штейнера в лінійному нормованому просторі полягає у відшуканні в заданій множині цього простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кожної з кількох фіксованих точок цього простору була б найменшою, тобто не перевищувала суми відстаней заданих точок до будь-якої іншої точки цієї множини.

На практиці доводиться мати справу з, так званими, «зваженими» задачами Штейнера, в яких відстаням, про які йшла мова вище, приписують різні «вагові» характеристики (див., наприклад, [1, с. 47]).

Якщо у «зваженій» задачі Штейнера «зважені відстані» між фіксованими точками лінійного нормованого простору і точками його множини замінити на відстані між цими точками, породжені, взагалі кажучи, різними нормами, заданими на розглядуваному лінійному просторі, то отримаємо задачу Штейнера в полінормованому просторі, яка є узагальненням «зваженої» задачі Штейнера (див., наприклад, [2]).

У роботі [2] для випадку, коли множина полінормованого простору, відносно якої розглядається узагальнена задача Штейнера, є опуклою, встановлено співвідношення двоїстості та умови екстремальності допустимого розв’язку цієї задачі, основані на співвідношенні двоїстості, що узагальнюють відомі результати, отримані для задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору (див., наприклад, [3]).

Задача, що розглядається в роботі, отримується внаслідок заміни в узагальненій задачі Штейнера в полінормованому просторі фіксованих точок лінійного над полем дійсних чисел простору замкненими кулями, що визначаються відповідними нормами цього простору. В якості відстаней між отриманими кулями та точками фіксованої множини лінійного простору приймаються гаусдорфові відстані між ними, породжені відповідними нормами