Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з монотонною степеневою нелінійністю

Анотація

У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного диференціального рівняння з оператором Гельмгольца.

Область, у якій розглядається задача, є кругом, на межі якого поставлено однорідну першу крайову умову. Характер нелінійності є монотонним, описується степеневою залежністю від шуканої функції, де показник змінюється від 0 до 1. Переходячи до полярних координат і враховуючи, що розв’язок має аксіальну симетрію (тобто залежність від кута повороту відсутня, а наявна лише залежність від відстані до центру круга), отримаємо, крайову задачу для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. Полюс полярної системи координат є особливою точкою цього рівняння, що приводить до необхідності накласти в цій точці на розв’язок умову обмеженості.

Для задачі будується функція Гріна і здійснюється перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, що розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Досліджено властивості відповідного інтегрального оператора такі, як монотонність (ізотонність), додатність, обмеженість і увігнутість

На наступному етапі дослідження знаходяться кінці інваріантного конусного відрізка, що є початковими наближеннями для ітераційного процесу. Після цього будуються два паралельних ітераційних процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом (нижні наближення), а друга – не зростає за конусом (верхні наближення). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень. Отже, на кожному своєму кроці ітераційний процес дає нам апостеріорну оцінку похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного аксіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі.

Теоретичні результати, отримані в роботі, було підтверд­жено шляхом проведення обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів рівняння, що проілюстровано відповідними графіками