Застосування методу двобічних наближень до аналізу статичного прогину пружної балки з різними типами закріплення кінців в моделі мікроелектромеханічної системи

Анотація

У статті розглядається крайова задача для напівлінійного диференціального рівняння четвертого порядку, що описує статичний прогин балки в мікроелектромеханічних системах (МЕМС) під дією електростатичних сил. Розглянуто різні типи закріплення кінців балки: жорстке закріплення (умови Діріхле) та шарнірне обпирання (умови Нав’є).

Для розв’язання відповідної крайової задачі запропоновано застосувати метод двобічних наближень, побудований на використанні відповідних функцій Гріна. Вибір методу обґрунтовано його здатністю не лише будувати наближений розв’язок, а й теоретично встановлювати умови існування розв’язку вихідної задачі разом із отриманням зручної апостеріорної оцінки похибки.

В основі дослідження лежить зведення крайової задачі до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна, аналіз якого проведено методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Побудовано ітераційний процес знаходження додатного розв’язку та визначено умови, за яких гарантується двобічна збіжність наближень. Для аналізу ефективності алгоритму проведено низку обчислювальних експериментів для різних значень параметрів системи. Виконано порівняльний аналіз отриманих результатів. Досліджено зміну максимального прогину балки та проаналізовано вплив крайових умов на стійкість системи.

Новизна роботи полягає у розробці та застосуванні схеми методу двобічних наближень до рівнянь четвертого порядку, що моделюють прогин балок у МЕМС з різними типами закріплення. Результати дослідження можуть бути використані при проєктуванні мікроперемикачів, газових датчиків, мікропінцетів та інших компонентів сучасної мікросистемної техніки для прогнозування їхньої статичної поведінки та оптимізації робочих параметрів. Також отримані у роботі результати можна розповсюдити на дво- та тривимірні задачі, а також (у комбінації з методом Роте) розповсюдити на нестаціонарний випадок