Вплив гладкості на точність чисельного інтегрування швидкоосцильованих функцій двох змінних на розріджених сітках

Анотація

Однією з ключових задач у сучасній прикладній математиці, без якої неможливе моделювання та аналіз складних процесів, зокрема в цифровій обробці зображень, є чисельне інтегрування функцій багатьох змінних. Основна проблема чисельного інтегрування функцій багатьох змінних полягає в зростанні обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності області інтегрування.

Особливий інтерес становлять методи чисельного інтегрування, розроблені з використанням інформаційних операторів, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних в точках, на лініях, площинах, тощо. На основі таких операторів будуються економні схеми інтерполяції функцій декількох змінних. Застосування економних схем в чисельному інтегруванні функцій двох та трьох змінних дозволяє будувати розріджені сітки та обчислювати наближено інтеграли з меншою кількістю даних та із заданою наперед точністю порівняно з класичними методами.

Метою даної статті є демонстрація використання економних схем інтерполяції для наближеного обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцильованих функцій загального виду на різних класах гладкості. В роботі проаналізовано вплив порядку диференційовності функції на швидкість спадання теоретичної похибки наближення кубатурної формул. Показано, що зі зростанням гладкості функції покращуються оцінки похибки чисельного інтегрування, що дозволяє ефективно використовувати розріджені сітки без втрати точності. Отримані результати встановлюють кількісний зв’язок між класом диференційовності функції, параметрами дискретизації та частотою осциляцій і можуть бути використані для обґрунтування вибору чисельних методів інтегрування швидкоосцилюючих функцій двох змінних