Чисельне інтегрування швидкоосцильованих функцій із використанням операторів відновлення за даними на лініях

Анотація

У сучасному математичному моделюванні фізичних та технічних процесів актуальною є проблема обробки й аналізу функцій багатьох змінних, значення яких відомі на системах ліній. Не виключенням є і задачі цифрової обробки зображень, зокрема чисельного інтегрування функцій з осциляцією. У задачах цифрової обробки зображень значна частина інформації про досліджуваний об’єкт надходить у вигляді вимірювань уздовж окремих напрямів або ліній, що є характерним для томографічних методів, дистанційного зондування та систем візуалізації. Розробка та застосування ефективних методів чисельного інтегрування швидкоосцильованих функцій на основі даних на системі ліній є важливою передумовою підвищення точності реконструкції, фільтрації та аналізу цифрових зображень.

Дослідження в статті присвячено чисельному інтегруванню щвидкоосцильованих функцій декількох змінних. Наведено кубатурну формули наближеного обчислення подвійних інтегралів від осцильованої експоненти. Кубатурна формула в своїй побудові в якості даних про функцію використовує сліди на взаємно перпендикулярних лініях. На класі диференційовних функцій представлено оцінки похибки наближення.

В роботі багато уваги приділено тестуванню кубатурної формули наближеного обчислення подвійних інтегралів від осцильованої експоненти. Отримані результати дозволяють пояснити вибір параметрів, підтвердити теоретичні оцінки похибки. Чисельний експеримент набуває особливої значущості, оскільки є базою для аналізу та прогнозування поведінки методу у тривимірному випадку. Це пов’язано з тим, що зі збільшенням розмірності зростає обсяг необхідної інформації про підінтегральну функцію, стає складніша структура похибки та істотно збільшуються обчислювальні витрати.

В роботі представлено кубатурну формулу наближеного обчислення потрійних інтегралів від осцильованої експоненти. Значення про функцію надаються як сліди функції на системі взаємно перпендикулярних прямих. Отримано оцінку похибки наближення на класі диференційовних функцій